Задача 53734

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K, причём  ∠AKB = 90°,  ∠CKB = 180° – ∠C.
В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?

Решение

  Продолжим отрезок BK до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда  ∠MKC = 180° – ∠CKB = ∠C = ∠MCB,  поэтому равнобедренные треугольники MKC и MCB подобны.
  Пусть BD – высота треугольника ABC,  DC = a,  AD = λa,  DM = x.  Тогда  CM : KM = BM : CM,  или  KM·BM = CM² = (a – x)².
  Точки D и K лежат на окружности с диаметром AB. Поэтому  KM·BM = AM·DM = (λa + x)x.
  Из уравнения  (a – x)² = (λa + x)x  находим, что  x = ^a/_λ+2,  откуда  AM = λa + x = ,  MC = a – x = .
  Следовательно,  ^AM/_MC = λ + 1.

Ответ

^AM/_MC = λ + 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1468