Задача 53765

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, причём  CN = ²/₃ AC.  Точка K находится на стороне AB, причём  AK : KB = 3 : 2.
В каком отношении прямая KN делит сторону BC?

Решение

  Первый способ. Через точку B проведём прямую, параллельную AC. Пусть прямая KN пересекает её в точке P, а прямую BC – в точке M.
  CN = ²/₃ AC,  AN = ⁵/₃ AC.  Из подобия треугольников PKB и NKA (коэффициент ²/₃) находим, что  PB = ²/₃ AN = ¹⁰/₉ AC,  а из подобия треугольников PBM и NCM –  BM : MC = PB : CN = 5 : 3.

  Второй способ. Через точку K проведём прямую, параллельную AC, до пересечения с BC в точке L.
  Из подобия треугольников KBL и ABC находим, что  KL = ²/₅ AC  и  BL = ²/₅ BC,  а из подобия треугольников KLM и NCM –  LM : MC = NC : KL = 3 : 5.  Отсюда  MC = ⁵/₈·³/₅ BC = ³/₈ BC.

Ответ

5 : 3,  считая от точки B.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1529