|
Название задачи: Точка Жергона. |
 |
Условие
В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника.
Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергона).
Подсказка
Докажите, что два из этих отрезков делят третий в одном и том же отношении или воспользуйтесь теоремой Чевы.
Решение
Пусть M, N и K – точки касания вписанной в треугольник ABC окружности со сторонами BC, AB и AC соответственно. Обозначим BM = BN = x,
AN = AK = y, CM = CK = z.
Первый способ. Проведём через точку A прямую, паралелльную стороне BC и продолжим отрезок CN до пересечения с этой прямой в точке T. Из подобия треугольников ANT и BNC следует, что Поэтому
Пусть P – точка пересечения AM и CN. Из подобия треугольников APT и MPC следует, что
Аналогично докажем, что если Q – точка пересечения AM и BK, то
Следовательно, точки P и Q совпадают.
Второй способ.
По теореме Чевы отрезки AM, CN и BK пересекаются в одной точке.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1552 |
