Информация о задаче

Задача 53820

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромб ABCD вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AD в точке M и пересекающая отрезок MC в точке N такой, что MN = 2NC. Найдите углы и площадь ромба.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей и рассмотрите треугольник FPC, где P и Q точки касания вписанной окружности со сторонами CD и AB ромба ABCD.

Решение

Обозначим CN = x. Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба (центр вписанной окружности), P — точка касания окружности со стороной CD, F — со стороной AB. Тогда

CP² = CN^.CM = x^.3x = 3x².

Поэтому CP = x $\sqrt{3}$ .

Рассмотрим треугольник FPC. Его сторона PF проходит через точку O,

PF = 2R, FC = CM = 3x, PC = x $\displaystyle \sqrt{3}$ , $\displaystyle \angle$ FPC = 90^o.

По теореме Пифагора

FC² = FP² + PC², или 9x² = 4R² + 3x².

Отсюда находим, что x = ${\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$ .

Если $\angle$ OCP = $\alpha$ , то

tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{OP}{PC}}$ = $\displaystyle {\frac{R}{x\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{2}}}$ , OC = $\displaystyle {\frac{OP}{\sin \alpha}}$ = R $\displaystyle \sqrt{3}$ , OD = OCtg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$ .

Следовательно,

S_ABCD = 2OC^.OD = 3R² $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

2arctg ${\frac{1}{\sqrt{2}}}$ = arccos ${\frac{1}{3}}$ ; 3R² $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1584