Задача 53856

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Центр масс ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Чевы.

Условие

Пусть точки A₁, B₁ и C₁ принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC.
Докажите, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  

Решение 1

  Необходимость. Пусть отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M.

  Первый способ. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC, и продолжим отрезки AA₁ и CC₁ до пересечения с этой прямой в точках K и N соответственно (см. рис.).

  Из подобия треугольников BA₁K и CA₁A следует, что  BK = AC·^BA₁/_A1C.  Аналогично  BN = AC·^BC₁/_C1A.  Кроме того,  ^AB₁/_BK = ^B₁M/_MB = ^CB₁/_BN.  Следовательно,     Поэтому  

  Второй способ.    

  Достаточность. Пусть     Предположим, что прямая, проходящая через вершину B и точку пересечения отрезков AA₁ и CC₁, пересекает сторону AC в точке P. Тогда по доказанному     а так как по условию     то  
  Следовательно, точки P и B совпадают.

Решение 2

  Пусть прямые AA₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Обозначим  ^AC₁/_C1B = p,  ^BA₁/_A1C = q.  Нужно доказать, что прямая BB₁ проходит через точку M тогда и только тогда, когда  CB₁ : B₁A = 1 : pq.
  Поместим в точки A, B и C массы 1, p и q соответственно. Тогда C₁ – центр масс точек A и B, а A₁ – центр масс точек B и C. Центр масс точек A, B и C с данными массами лежит и на отрезке AA₁ и и на отрезке CC₁, то есть совпадает с M.
  С другой стороны, точка M лежит на отрезке, соединяющем точку B с центром масс точек A и C, то есть с точкой, лежащей на стороне AC и делящей её в отношении  CB₁ : B₁A = 1 : pq.
  Остаётся заметить, что на отрезке AC существует единственная точка, делящая его в данном отношении.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1621