В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

   Решение

В 2n-угольнике (n нечетно)  A₁...A_2n, описанном около окружности с центром O, диагонали A₁A_{n + 1}, A₂A_{n + 2},..., A_{n - 1}A_{2n - 1} проходят через точку O. Докажите, что и диагональ A_nA_2n проходит через точку O.

   Решение

На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что  AK² = LK·KM.

   Решение

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что  AK² = LK·KM.

Решение

По теореме Фалеса  AK : MK = BK : KD  и BK : KD = LK : AK.  Поэтому  AK : MK = LK : AK,  то есть  AK² = LK·KM.

Источники и прецеденты использования