ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53892
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2.  Прямые BD и CE пересекаются в точке O.
Докажите, что угол AOC – прямой.


Подсказка

Пусть F – такая точка на стороне BC, что   CF : FB = 1 : 2,  а прямая AF пересекает отрезки BD и CE в точках M и N соответственно. Докажите, что
OM = MN = MA.


Решение

  Пусть F – такая точка на стороне BC, что  CF : FB = 1 : 2.  Если прямая AF пересекает отрезки BD и CE в точках M и N соответственно, то треугольник OMN – также равносторонний (при повороте на 60° вокруг центра треугольника ABC он переходит в себя). Поэтому  OM = MN.
  Согласно задаче 53858  AM : MF = 3/2 : 2 = 3 : 4,  а  AN : NF = 3 : ½ = 6 : 1.  Поэтому  AM : MN : NF = 3 : 3 : 1.  Следовательно,  OM = MN = MA.  Значит, треугольник AON – прямоугольный,  ∠AON = 90°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1657

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .