Задача 53895

Темы:    [ Шестиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На диагоналях AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF взяты точки M и N соответственно, причём  ^AM/_AC = ^CN/_CE = λ.  Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Найдите λ.

Решение

  Пусть  AC = 1,  L – точка пересечения диагоналей BF и AC (см. рис.).
  В трапеции ABCF  BL : LF = AB : CF = 1 : 2.  Следовательно,  BL = ⅓.  Аналогично  AL = ⅓.  По условию  CN = AM = λ,  а  LM = λ – ⅓.  Диагонали BF и CE параллельны, поэтому треугольники BLM и NCM подобны и  ^⅓/_λ = ^λ–⅓/_1–λ.  Отсюда  λ² = ⅓.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1660