Задача 53896

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Центр масс ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Дубровский В.Н.

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.

Решение

  Пусть AL, BE и CF – биссектрисы треугольника ABC, K – точка пересечения отрезков EF и AL, M и N – точки пересечения прямой, проходящей через точку K параллельно BC, со сторонами AB и AC соответственно. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c.
  Поместим в вершины B и C массы b и c соответственно, а в вершину A – массу 2a. Центр тяжести этой системы материальных точек, с одной стороны, совпадает с центром тяжести системы точек M и N с массами  a + b  и  a + c  соответственно, а с другой стороны, – с центром тяжести системы точек A и L с массами 2a и  b + c  соответственно. Отсюда следует, что общий центр тяжести – точка K – делит отрезок AL в отношении  AK : KL = (b + c) : 2a.  Следовательно,  k = ^AK/_AL = ^b+c/_2a+b+c.
  Из подобия треугольников AMN и ABC следует, что  MN = ka,  BM + CN = b(1 – k) + c(1 – k) = ^2a(b+c)/_2a+b+c = 2ka.

Замечания

Нетрудно понять, что  BM = 2MK,  CN = 2NK.  Это утверждение эквивалентно тому, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом  ^AK/_AI  (I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC) точки B и C переходят соответственно в середины отрезков BM и CN (см. задачу 54180).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1661