ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53896
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через точку пересечения биссектрисы угла A треугольника ABC и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне BC. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме её боковых сторон.


Решение

  Пусть AL, BE и CF – биссектрисы треугольника ABC, K – точка пересечения отрезков EF и AL, M и N – точки пересечения прямой, проходящей через точку K параллельно BC, со сторонами AB и AC соответственно. Обозначим  BC = a,  AC = b,  AB = c.
  Поместим в вершины B и C массы b и c соответственно, а в вершину A – массу 2a. Центр тяжести этой системы материальных точек, с одной стороны, совпадает с центром тяжести системы точек M и N с массами  a + b  и  a + c  соответственно, а с другой стороны, – с центром тяжести системы точек A и L с массами 2a и  b + c  соответственно. Отсюда следует, что общий центр тяжести – точка K – делит отрезок AL в отношении  AK : KL = (b + c) : 2a.  Следовательно,  k = AK/AL = b+c/2a+b+c.
  Из подобия треугольников AMN и ABC следует, что  MN = ka,  BM + CN = b(1 – k) + c(1 – k) = 2a(b+c)/2a+b+c = 2ka.

Замечания

Нетрудно понять, что  BM = 2MKCN = 2NK.  Это утверждение эквивалентно тому, что при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом  AK/AI  (I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC) точки B и C переходят соответственно в середины отрезков BM и CN (см. задачу 54180).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1661

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .