Задача 53898

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Центр масс ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 8,9 Название задачи: Теорема Ван-Обеля.

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ лежат соответственно на сторонах BC, AC, AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке K.
Докажите, что  ^AK/_KA1 = ^AB₁/_B1C + ^AC₁/_C1B.

Решение 1

Через вершину A проведём прямую, параллельную BC, до пересечения с прямыми BB₁ и CC₁ в точках P и Q соответственно. Тогда треугольник AB₁P подобен треугольнику CB₁B, треугольник AC₁Q – треугольнику BC₁C, а треугольник PKQ – треугольнику CKB. Следовательно,
^AB₁/_B1C + ^AC₁/_C1B = ^AP/_BC + ^AQ/_BC = ^PQ/_BC = ^AK/_KA1.

Решение 2

Поместим в вершину A массу 1, в B – массу  p = ^AC₁/_C1B,  в C – массу  q = ^AB₁/_B1C.  Тогда точка K – центр тяжести этой системы материальных точек и
^AK/_KA1 = ^p+q/₁ = ^AC₁/_C1B + ^AB₁/_B1C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1663