Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

   Решение

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

   Решение

Рассмотрим равнобедренные треугольники с одними и теми же боковыми сторонами.
Докажите, что чем больше основание, тем меньше проведённая к нему высота.

   Решение

a и b – натуральные числа. Известно, что  a² + b²  делится на ab. Докажите, что  a = b.

   Решение

Найдите расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды, равной 12.

   Решение

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

   Решение

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. A – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке A. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

   Решение

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

   Решение

Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Угол между радиусами OA и OB окружности равен 60°. Найдите хорду AB, если радиус окружности равен R.

Подсказка

Треугольник AOB – равносторонний.

Решение

Поскольку  OA = OB  как радиусы одной окружности, треугольник AOB – равнобедренный, а так как  ∠AOB = 60°,  то треугольник AOB – равносторонний. Следовательно,  AB = OA = R.

Ответ

R.

Источники и прецеденты использования