Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из точки C, лежащей вне окружности с центром O, проведены два луча, пересекающие окружность: первый — в точках M и A, второй — в точках N и B. При этом точка N лежит между точками B и C. Углы MOA и NOB равны 120^o. Перпендикуляр NL, опущенный из точки N на прямую AB, равен 12. Отрезок MN в 5 раз меньше отрезка AB. Найдите площадь треугольника MNC.

   Решение

---

На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол ^2πk/_n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)

   Решение

---

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении  1 : 3.  Найдите острые углы треугольника.

   Решение

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении  1 : 3.  Найдите острые углы треугольника.

Подсказка

Проведите медиану из вершины прямого угла.

Решение

  Пусть окружность, построенная как на диаметре на катете BC прямоугольного треугольника ABC, пересекает гипотенузу AB в точке D, отличной от B, причём AD : BD = 3 : 1.

  Первый способ.  Проведём медиану CM. Тогда  AM = CM.

  В прямоугольном треугольнике CDM гипотенуза CM вдвое больше катета DM. Поэтому  ∠DCM = 30°,  а ∠AMC = 60°.  Угол при вершине M равнобедренного треугольника AMC равен 60°. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Поэтому   A = 60°.

  Второй способ.  (^BC/_AC)² = ^AD/_BD = 3,  то есть  tg∠A =

Ответ

30°, 60°.

Источники и прецеденты использования