|
|
 |
Условие
Боковая сторона трапеции равна одному основанию и вдвое меньше другого.
Докажите, что вторая боковая сторона перпендикулярна одной из диагоналей трапеции.
Решение
Пусть E – середина большего основания AD трапеции ABCD, в которой AB = BC = ½ AD.
Первый способ. ABCE – ромб, поэтому AC ⊥ BE || CD.
Второй способ. ABCE – параллелограмм, поэтому CE = AE = ED. Значит, медиана CE треугольника ACD равна половине стороны AD. Следовательно, ∠ACD = 90°.
Третий способ. Достроим трапецию ABCD до параллелограмма ABMD (рис. в центре). Тогда ∠ABC + ∠CMD = 180°. Поскольку треугольники ABC и CMD – равнобедренные, то ∠BCA = 90° – ½ ∠ABC и MCD = 90° – ½ ∠CMD, следовательно, ∠BCA + ∠MCD = 180° – ½ (∠ABC + ∠CMD) = 90°.
Четвертый способ. Достроим трапецию до треугольника AFD (рис. справа). Поскольку BC : AD = 1 : 2, то и BF : AF = FC : FD = 1 : 2, следовательно, BC – средняя линия этого треугольника. ∠CAD = ∠BCA = ∠BAC, значит, AC – биссектриса и медиана треугольника AFD, следовательно, она является и высотой.
