Информация о задаче

Задача 54370

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через середину диагонали AC и пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM : AB, если AC = 3BD.

Подсказка

Четырёхугольник ABCD — ромб и ${\frac{AM}{AB}}$ = ${\frac{AM}{AD}}$ = cos $\angle$ BAD.

Решение

Пусть Q — точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD. Вписанный угол AQD опирается на диаметр AD данной окружности. Поэтому $\angle$ AQD = 90^o. Следовательно, ABCD — ромб и AB = AD.

Пусть $\angle$ BAD = 2 $\alpha$ . Тогда

$\displaystyle \angle$ QAD = $\displaystyle \alpha$ , tg $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{DQ}{AQ}}$ = $\displaystyle {\frac{BD}{AC}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ ,

cos $\displaystyle \angle$ BAD = cos 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{1 - {\rm tg }^{2}\alpha}{1 + {\rm tg }^{2}\alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{1 - \frac{1}{9}}{1 + \frac{1}{9}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{AM}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AD}}$ = cos 2 $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{4}{5}}$ .

Ответ

4:5.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2133