Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

   Решение

---

Дана клетчатая доска размерами

а) 9 × 10;     б) 10 × 12;     в) 9 × 11.

За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB – прямой. Пусть E – точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC. Точка D – середина стороны AB,  O – точка пересечения отрезков BE и CD. Через точку O проведён перпендикуляр к BO до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что
FC = b,  OC = ^3b/₂.  Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC угол ACB – прямой. Пусть E – точка пересечения биссектрисы угла ABC со стороной AC. Точка D – середина стороны AB,  O – точка пересечения отрезков BE и CD. Через точку O проведён перпендикуляр к BO до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что
FC = b,  OC = ^3b/₂.  Найдите площадь треугольника ABC.

Подсказка

Проведите медиану OL треугольника OCF.

Решение

  Проведём медиану OL прямоугольного треугольника OCF. Тогда  OL = FL = LB,  ∠OLB = 2∠OBL = ∠B = ∠BCD.  Значит,  OF || AB,  а треугольник COF – равнобедренный (см. рис.). Следовательно,  OF = OC = ^3b/₂,  BF = 3b,  BC = 4b,  CL = ^5b/₂.

  По теореме Фалеса  CD = ^BC/_CL·OC = ^12b/₅,  AB = 2CD = ^24b/₅,  AC² = AB² – BC² = ^16·11b²/₂₅,   S_ABC = ½ BC·AC = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования