Информация о задаче

Задача 54466

Темы:	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Отношения площадей	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD со стороной a угол при вершине А равен 60^o, точки E и F являются серединами сторон AB и CD соответственно. Точка K лежит на стороне BC, отрезки AK и EF пересекаются в точке M. Найдите MK, если известно, что площадь четырёхугольника MKCF составляет ${\frac{3}{8}}$ площади ромба ABCD.

Подсказка

Из равенства S_BKME = ${\frac{1}{8}}$ S_ABCD выведите, что BK = ${\frac{a}{3}}$ .

Решение

Поскольку S_MKCF = ${\frac{3}{8}}$ S_ABCD, то

S_BKME = S_BCFE - S_MKCF = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ S_ABCD - $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{8}}$ S_ABCD = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8}}$ S_ABCD.

Если h — высота ромба, то площадь трапеции MKBE равна ${\frac{BK + ME}{2}}$ ^. ${\frac{h}{2}}$ . Обозначив BK через x, получим уравнение

$\displaystyle {\frac{x + \frac{x}{2}}{2}}$ ^. $\displaystyle {\frac{h}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{ah}{8}}$ .

Отсюда находим, что x = ${\frac{a}{3}}$ . Тогда

CK = BC - BK = a - $\displaystyle {\frac{a}{3}}$ = $\displaystyle {\frac{2a}{3}}$ .

По теореме косинусов из треугольника ACK находим, что

AK² = CA² + CK² - 2CA^.CK cos 30^o = 3a² + $\displaystyle {\frac{4a^{2}}{9}}$ - 2a² = $\displaystyle {\frac{13a^{2}}{9}}$ .

Следовательно,

MK = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AK = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{13}}{6}}$ .

Ответ

${\frac{a\sqrt{13}}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2230