Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

   Решение

---

Дана клетчатая доска размерами

а) 9 × 10;     б) 10 × 12;     в) 9 × 11.

За ход разрешается вычеркнуть любую горизонталь или любую вертикаль, если в ней к моменту хода есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

---

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

   Решение

Темы:    [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

Подсказка

Через вершину квадрата, принадлежащую катету данного треугольника, проведите прямую, параллельную другому катету.

Решение

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

поэтому

Следовательно,

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

поэтому

Следовательно,

Пусть вершины M и N квадрата MNKL находятся соответственно на катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L — на гипотенузе AB. При этом AL = m, BK = n.

Через точку N проведём прямую, паралелльную AC, до пересечения с гипотенузой AB в точке P. Из равенства прямоугольных треугольников AML и PNK следует, что PK = AL = m.

Сторона NK указанного квадрата есть высота прямоугольного треугольника PNB, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому

Следовательно, площадь квадрата MNLK равна mn.

Обозначим BAC = . Тогда BKN = . Из прямоугольных треугольников ALM и NKB находим, что

поэтому

Следовательно,

Ответ

mn.

Источники и прецеденты использования