Задача 54615

Темы:    [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Периметр треугольника ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки около данного треугольника опишите равносторонний треугольник с наибольшим возможным периметром.

Подсказка

Задача сводится к проведению через точку пересечения окружностей прямой, на которой эти окружности высекают хорды, сумма длин которых максимальна.

Решение

  Пусть вершины A, B и C данного треугольника расположены на сторонах KN, MN и KM равностороннего треугольника KMN. Пусть P и Q – проекции на сторону KN центров O₁ и O₂ описанных окружностей треугольников ABN и ACK соответственно. Тогда  PQ ≤ O₁O₂,  причём равенство достигается только в случае, если  PQ || O₁O₂.  Поскольку  KN = 2PQ,  то KN максимально, если  KN || O₁O₂.

  Отсюда вытекает следующий способ построения. На отрезке AB как на хорде строим в полуплоскости, не содержащей точки C, дугу окружности, вмещающую угол 60°. Аналогично строим соответствующую дугу окружности на хорде AC. Через точку A проводим прямую, параллельную линии центров построенных окружностей. Эта прямая пересекает построенные дуги в точках N и K. Точка пересечения NB и KC есть третья вершина M искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2510