Задача 54632

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC по точкам A₁, B₁ и C₁, симметричным ортоцентру треугольника относительно прямых BC, CA, AB.

Решение

  Известно, что точки, A₁, B₁ и C₁ лежат на описанной окружности треугольника ABC (см. задачу 55463).
  Рассмотрим сначала случай остроугольного треугольника ABC. Предположим, что он построен и H – его ортоцентр. Тогда отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ проходят через точку H. Поэтому  ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁ = ∠BAA₁ = ∠BB₁A₁,  то есть луч B₁B – биссектриса угла A₁B₁C₁. Аналогично для лучей A₁A и C₁C.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Проводим окружность через точки A₁, B₁ и C₁. Биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁ продолжаем до пересечения с этой окружностью. Полученные точки – вершины искомого треугольника ABC (см. рис.).

  Если треугольник ABC тупоугольный (прямоугольным он, очевидно быть не может), то аналогичные рассуждения показывают, что H – центр одной из вневписанных окружностей треугольника A₁B₁C₁. Чтобы построить такой треугольник, надо в описанном выше построении заменить две биссектрисы на биссектрисы соответствующих внешних углов (рис. слева).

  Таким образом, по данным точкам A₁, B₁, C₁ можно построить четыре разных треугольника ABC. Например, для равностороннего треугольника A₁B₁C₁ получается четыре треугольника, окрашенные в разные цвета на рис. справа (A, B, C – точки, диаметрально противоположные точкам A₁, B₁, C₁).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2528