Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
  а) Докажите, что при  n = 98  первый всегда может выиграть.
  б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?

   Решение

Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны окружность и точка A. Найдите геометрическое место середин хорд, высекаемых данной окружностью на всевозможных прямых, проходящих через точку A.

Подсказка

Из середины каждой из указанных хорд отрезок OA виден под прямым углом.

Решение

Пусть O — центр окружности, M — середина одной из указанных хорд. Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде. Поэтому отрезок OA виден из точки M под прямым углом. Следовательно, середина каждой такой хорды лежит на окружности с диаметром OA.

Если точка A расположена внутри окружности, то искомое геометрическое место точек есть окружность с диаметром OA.

Если точка A лежит на окружности, то искомое геометрическое место точек есть есть окружность с диаметром OA без точки A.

Если точка A расположена вне окружности, то искомое геометрическое место точек есть дуга окружности с диаметром OA, состоящая из точек, лежащих внутри данной окружности.

Ответ

Окружность или дуга окружности.

Источники и прецеденты использования