Задача 54659

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата.

Подсказка

Рассмотрите подобные треугольники или примените метод площадей.

Решение

  Пусть вершина M квадрата CKML лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, а вершины K и L – на катетах AC и BC соответственно,
AC = 6,  BC = 8.

  Первый способ. Поскольку CM – биссектриса угла C, то  AM : BM = AC : BC = 3 : 4.  По теореме Фалеса  KC = ⁴/₇ AC = ²⁴/₇.

  Второй способ. Обозначим сторону квадрата через x. Тогда  S_ABC = S_AMC + S_BMC,  AC·BC = AC·MK + BC·ML,  6·8 = 6x + 8x,  откуда  x = ²⁴/₇.

Ответ

²⁴/₇.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2605