|
|
 |
Условие
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CH и AH1. Известно, что AC = 2, площадь круга, описанного около треугольника HBH1, равна π/3. Найдите угол между высотой CH и стороной BC.
Решение
Пусть P – точка пересечения высот треугольника ABC. Точки H и H1 лежат на окружности с диаметром BP. Пусть радиус этой окружности равен R. Тогда
πR² = π/3. Отсюда
Первый способ. Из решения задачи 54814 следует, что 2R = AC ctg∠B = 2 ctg∠B. Значит, ∠B = 60°. Следовательно, ∠BCH = 90° – ∠B = 30°.
Второй способ. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC.
Расстояние от точки O до стороны AC вдвое меньше расстояния от точки P до вершины B (см. задачу 53528), а так как то
Из прямоугольного треугольника OMC видно, что ∠MOC = 60°.
По теореме о вписанном угле ∠B = ½ ∠AOC = ∠MOC = 60°. Следовательно, ∠BCH = 90° − ∠B = 30°.
Ответ
30°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 2761 |
