Информация о задаче

Задача 54920

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В окружности радиуса R проведены хорда AB и диаметр AC. Хорда PQ, перпендикулярная диаметру AC, пересекает хорду AB в точке M. Известно, что AB = a, PM : MQ = 3. Найдите AM.

Подсказка

Воспользуйтесь замечательным свойством окружности и теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Пусть диаметр AC пересекается с хордой PQ в точке N. Обозначим AM = x, PQ = 4y. Тогда BM = AB - AM = a - x, а т.к. N — середина PQ, то QN = 2y, то MN = QM = y.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC находим, что

BC = $\displaystyle \sqrt{AC^{2} - AB^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4R^{2} - a^{2}}$ .

Из подобия прямоугольных треугольников ABC и ANM находим, что ${\frac{MN}{AM}}$ = ${\frac{BC}{AC}}$ , откуда

y = MN = $\displaystyle {\frac{AM\cdot BC}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{x\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R}}$ .

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд

AM^.BM = QM^.PM,

или

x(a - x) = y^.3y = 3y² = 3 $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{x\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R} }\right.$ $\displaystyle {\frac{x\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{x\sqrt{4R^{2} - a^{2}}}{2R} }\right)^{2}_{}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{x^{2}(4R^{2} - a^{2})}{R^{2}}}$ .

Из уравнения

x(a - x) = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{4}}$ ^. $\displaystyle {\frac{x^{2}(4R^{2} - a^{2})}{R^{2}}}$

находим, что

AM = x = $\displaystyle {\frac{4aR^{2}}{16R^{2} - 3a^{2}}}$ .

Ответ

${\frac{4aR^{2}}{16R^{2} - 3a^{2}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2864