Информация о задаче

Задача 54956

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]
Темы:	[	Отношения площадей	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно, причём

$\displaystyle {\frac{AC_{1}}{C_{1}B}}$ = $\displaystyle {\frac{BA_{1}}{A_{1}C}}$ = $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{B_{1}A}}$ = 2.

Найдите площадь треугольника A₁B₁C₁, если площадь треугольника ABC равна 1.

Треугольники, отсекаемые от данного прямыми A₁B₁, B₁C₁ и A₁C₁, — равновелики.

Заметим, что

S_C₁BA₁ = $\displaystyle {\frac{BC_{1}}{BA}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA_{1}}{BC}}$ ^.S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ .

Аналогично

S_A₁BC₁ = S_B₁CA₁ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ .

Следовательно,

S_A₁B₁C₁ = 1 - 3^. $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ .

${\frac{1}{3}}$ .


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3012