Информация о задаче

Задача 54962

Темы:	[	Площадь четырехугольника	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Подсказка

Площадь данного треугольника равна сумме площадей четырёх треугольников, на которые диагонали разбивают четырёхугольник.

Решение

Первый способ.

Пусть M — точка пересечения диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Обозначим AM = x, BM = y, CM = z, DM = t, $\angle$ AMB = $\alpha$ . Тогда

S_ABCD = S_AMB + S_BMC + S_CMD + S_AMD =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xy sin $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ yz sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) + + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ zt sin $\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ xt sin(180^o - $\displaystyle \alpha$ ) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (xy + yz + zt + xt)sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (x + z)(y + t)sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AC^.BD sin $\displaystyle \alpha$ .

Второй способ.

Через каждую из двух противоположных вершин четырёхугольника проведём прямые, параллельные диагонали, соединяющей две другие вершины. То же проделаем для двух других вершин. Получим параллелограмм, стороны которого равны диагоналям данного четырёхугольника. Угол между соседними сторонами полученного параллелограмма равен углу между диагоналями данного четырёхугольника, а площадь вдвое больше. Поскольку площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними, то площадь данного четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3018