Задача 54976

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K и L, причём  AM : MB = CK : KD = ½,  а
BN : NC = DL : LA = ¹/₃.
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.

Подсказка

Найдите отношение, в котором отрезок CL делится точкой пересечения с отрезком DM.

Решение

  Пусть P – точка пересечения отрезков AN и BK, Q – BK и CL, T – CL и DM, R – AN и DM. Продолжим DM до пересечения с продолжением CB в точке O.
  По теореме Фалеса  AR : RP = 1 : 2.  Из подобия треугольников DRA и DTL получаем  TL = ¼ AR = ¹/₁₂ AP = ¹/₁₂ CT.  Поэтому
S_DTC = ¹²/₁₃ S_CLD = ¹²/₁₃· ¹/₈ = ³/₂₆.
  Аналогично  S_CBQ = ¹²/₁₃· ¹/₆ = ²/₁₃.  Следовательно,  S_PQTR = S_ABCD – 2S_DCT – 2S_CBQ  = 1 – ³/₁₃ – ⁴/₁₃ = ⁶/₁₃.

Ответ

⁶/_13.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3032