Информация о задаче

Задача 55032

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Отношения площадей	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В четырехугольнике ABCD острый угол между диагоналями равен $\alpha$ . Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не содержащей эту вершину. Найдите отношение площади четырёхугольника, ограниченного этими прямыми, к площади четырёхугольника ABCD.

Подсказка

Если d₁ и d₂ — диагонали четырёхугольника, то высоты полученного параллелограмма равны d₁cos $\alpha$ и d₂cos $\alpha$ .

Решение

Пусть d₁ и d₂ — диагонали четырёхугольника ABCD. Новый четырёхугольник — параллелограмм. Его высоты равны проекциям диагоналей AC и BD друг на друга, т.е. d₁cos $\alpha$ и d₂cos $\alpha$ . Обозначим через S' площадь этого параллелограмма.

Поскольку площадь параллелограмма равна произведению двух его высот, делённому на синус угла между ними (равного углу между сторонами), то

S' = $\displaystyle {\frac{d_{1}\cos \alpha\cdot d_{2}\cos \alpha}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{d_{1}d_{2}\cos^{2}\alpha}{\sin \alpha}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S'}{S_{ABCD}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{d_{1}d_{2}\cos^{2}\alpha}{\sin \alpha}}{\frac{1}{2}d_{1}d_{2}\sin \alpha}}$ = 2ctg² $\displaystyle \alpha$ .

Ответ

2ctg² $\alpha$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3088