Задача 55038

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB, AC и BC правильного треугольника ABC расположены соответственно точки C₁, B₁ и A₁, причём треугольник A₁B₁C₁ является правильным. Высота BD треугольника ABC пересекает сторону A₁C₁ в точке O. Найдите отношение ^BO/_BD, если  ^A₁B₁/_AB = n.

Подсказка

Обозначьте  ^BC₁/_AB = k  и выразите искомое отношение через k, используя равенство  S_BA1C1 = S_BC1O + S_BA1O.

Решение

  Треугольники BA₁C₁, CB₁A₁ и AC₁B₁ равны (см. решение задачи 55037). Пусть  S_ABC = S,  ^BC₁/_BA = k.  Тогда  ^BA₁/_BC = 1 – k.
  Обозначим  x = ^BO/_BD.  Тогда  S_BC1O = kxS_BAD = ½ kxS,  S_BA1O = ½ (1 – k)xS,  S_BA1C1 = k(1 – k)S,  S_BA1C1 = S_BC1O + S_BA1O,  то есть
kxS + (1 – k)xS = 2k(1 – k)S.  Отсюда  x = 2k(1 – k).
  Поскольку треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны с коэффициентом n, то  S_A1B1C1 = n²S.  Поэтому  S_BA1C1 = ¹/₃ (S – S_A1B1C1) = ¹/₃ S(1 – n²).
  Таким образом,  k(k – 1) = ¹/₃ (1 – n²).  Следовательно,  x = 2k(1 – k) = ²/₃ (1 – n²).

Ответ

²/₃ (1 – n²).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3094