Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
  a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
  a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
  a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
    ...,
  a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
  a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.

Вниз   Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = 9R/8.  Найдите SM.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A1B1C1 как $ {\frac{9}{2}}$. Найдите отношение периметра треугольника A1B1C1 к периметру треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задача 55041
Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A1B1C1 как $ {\frac{9}{2}}$. Найдите отношение периметра треугольника A1B1C1 к периметру треугольника ABC.


Подсказка

Примените свойство биссектрисы треугольника.


Решение

Обозначим BC = a, AC = AB = b, S$\scriptstyle \Delta$ABC = S. По свойству биссектрисы треугольника

$\displaystyle {\frac{AB_{1}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$, $\displaystyle {\frac{CB_{1}}{CA}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$.

Тогда

S$\scriptstyle \Delta$A1B1C1 = S$\scriptstyle \Delta$ABC - 2S$\scriptstyle \Delta$A1CB1 - S$\scriptstyle \Delta$B1AC1 =

= S - 2 . $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ . $\displaystyle {\frac{a}{a+b}}$ . S - $\displaystyle {\frac{b^{2}S}{(a + b)^{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{abS}{(a+b)^{2}}}$.

Таким образом, имеем уравнение

$\displaystyle {\frac{ab}{(a+b)^{2}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{9}}$, или 2a2 - 5ab + 2b2 = 0.

Отсюда находим: b = $ {\frac{a}{2}}$ (что невозможно) или b = 2a. Тогда периметр треугольника ABC равен 5a,

AA1 = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}- CA^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{15}}{2}}$.

Пусть D — середина B1C1. Поскольку

$\displaystyle {\frac{AD}{AA_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{AB_{1}}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a + b}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$,

то

A1D = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$AA1 = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{15}}{6}}$, B1C1 = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$BC = $\displaystyle {\frac{2a}{3}}$, A1B1 = $\displaystyle \sqrt{A_{1}D^{2}+ B_{1}D^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{a\sqrt{19}}{6}}$.

Следовательно, периметр треугольника A1B1C1 равен a$ \left(\vphantom{\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}}\right.$$ {\frac{2}{3}}$ + $ {\frac{\sqrt{19}}{3}}$$ \left.\vphantom{\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{19}}{3}}\right)$.


Ответ

$ {\frac{2+\sqrt{19}}{15}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3097
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .