Информация о задаче

Задача 55126

Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим углом	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Авторы: Гальперин Г.А., Савин А.П.

Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.

а) Могут ли площади всех четырёх частей быть равны?

б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвёртой части?

Подсказка

Если точки M и N расположены соответственно на сторонах AC и AB треугольника ABC, то

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{AN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AM}{AC}}$ .

Решение

Пусть точки M и N расположены соответственно на сторонах AC и AB треугольника ABC, K — точка пересечения отрезков BM и CN. Докажем, что три полученных треугольника BKN, BKC и CKM не могут быть равновеликими.

Предположим, что S_BKN = S_BKC = S_CKM. Тогда точка K — середина CN и BM. Следовательно, четырёхугольник BNMC — параллелограмм, т.е. BN || CM, что невозможно.

Пусть S_AMKN = S_BKN = S_CKM = s. Высоты равновеликих треугольников BNC и BMC, проведённые из вершин N и M равны, поэтому NM || BC.

Обозначим

$\displaystyle {\frac{AN}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{AM}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{NM}{BC}}$ = $\displaystyle {\frac{MK}{KB}}$ = x.

Тогда

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKN}}{S_{\Delta BMA}}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = (1 - x)^. $\displaystyle {\frac{1}{1+x}}$ = $\displaystyle {\frac{1-x}{1+x}}$ .

Отсюда находим, что x = ${\frac{1}{3}}$ . Следовательно,

S_BKC = $\displaystyle {\frac{CK}{KN}}$ S_BKN = 3s.

Легко проверить, что если ${\frac{AN}{AB}}$ = ${\frac{AM}{AC}}$ = ${\frac{1}{3}}$ , то

S_AMKN = S_BKN = S_CKM.

Пусть теперь S_AMKN = S_BKN = S_BKC = s. Если S_CKM = q, то

$\displaystyle {\frac{AN}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta ACN}}{S_{\Delta BCN}}}$ = $\displaystyle {\frac{s + q}{2s}}$ , $\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKC}}{S_{\Delta CKM}}}$ = $\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{s}{q}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{2s}{3s+q}}$ ^. $\displaystyle {\frac{s}{s+q}}$ .

После упрощения получим квадратное уравнение

q² + 4sq - s² = 0,

из которого находим, что q = s( $\sqrt{5}$ - 2).

Докажем теперь, что если точка N на стороне AB треугольника ABC такова, что ${\frac{AN}{NB}}$ = ${\frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ , а точка K — середина отрезка CN, то S_AMKN = S_BKN = S_BKC.

Пусть прямая BK пересекает сторону AC в точке M. Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB, до пересечения с прямой BK в точке P. Из равенства треугольников PKC и BKN следует, что PC = BN, а из подобия треугольников PMC и BMA —

$\displaystyle {\frac{AM}{MC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{PC}}$ = $\displaystyle {\frac{AB}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}$ .

С помощью аналогичных рассуждений найдём, что

$\displaystyle {\frac{BK}{KM}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5} - 2}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta BKN}}{S_{\Delta BMA}}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{AB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BK}{BM}}$ = $\displaystyle {\frac{2}{\sqrt{5} + 1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{5} - 1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ .

Таким образом, S_AMKN = S_BKN = S_BKC. Аналогично для случая, когда

S_AMKN = S_BKC = S_CKN.

Ответ

а) Нет; б) 3 или $\sqrt{5}$ - 2.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3201