Задача 55133

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Косьянчук В.

Три прямые, параллельные сторонам треугольника ABC и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника ABC трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилегающих к сторонам треугольника ABC, равна площади четвёртого.

Подсказка

Указанные диагонали трапеций отсекают от треугольника ABC три треугольника, сумма площадей которых равна площади треугольника ABC.

Решение

Пусть O — точка внутри треугольника ABC, через которую проведены три прямые; AM, BN, CK — указанные диагонали трёх трапеций (рис.1).

Поскольку OM || AB, то S_ABM = S_ABO. Аналогично

S_BCN = S_BCO, S_ACK = S_ACO.

Поэтому

S_ABM + S_BCN + S_ACK = S_ABO + S_BCO + S_ACO = S_ABC.

Если EFP — "внутренний" треугольник, то

S_EFP = S_ABC - S_ABM - S_BCN - S_ACK +

+ S_AKE + S_BMF + S_CPN =

= S_ABC - S_ABC + S_AKE + S_BMF + S_CPN =

= S_AKE + S_BMF + S_CPN.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3208