Докажите, что для любого натурального числа n  

   Решение

Продолжения сторон KN и LM выпуклого четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P, а продолжения сторон KL и MN – в точке Q. Отрезок PQ перпендикулярен биссектрисе угла KQN. Найдите сторону KL, если  KQ = 12,  NQ = 8,  а площадь четырёхугольника KLMN равна площади треугольника LQM.

   Решение

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

   Решение

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

   Решение

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток.

Подсказка

Докажите, что каждый из указанных отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах, делятся на 8 равных частей.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD (рис.1). Тогда четырёхугольник MNKL — параллелограмм. Его диагонали MK и NL делятся точкой пересечения Q пополам. Рассуждая аналогично докажем, что каждый из отрезков, соединяющих соответствующие точки деления на противоположных сторонах исходного четырёхугольника, делится на 8 равных частей.

Осталось доказать, что утверждение задачи верно для выпуклого четырёхугольника, все стороны которого разделены пополам (рис.2). Для этого достаточно заметить, что треугольники с общей вершиной O и попарно равными основаниями попарно равновелики.

Источники и прецеденты использования