Дано 100 чисел a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀₀, удовлетворяющих условиям:
  a₁ – 3a₂ + 2a₃ ≥ 0,
  a₂ – 3a₃ + 2a₄ ≥ 0,
  a₃ – 3a₄ + 2a₅ ≥ 0,
    ...,
  a₉₉ – 3a₁₀₀ + 2a₁ ≥ 0,
  a₁₀₀ – 3a₁ + 2a₂ ≥ 0.
Доказать, что все числа a_i равны между собой.

   Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD  (BC || AD).  В этой же окружности проведены диаметр CE и хорда BE, пересекающая AD в точке F. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки F на CE, S – середина отрезка EO, M – середина BD. Известно, что радиус окружности равен R, а  CH = ^9R/₈.  Найдите SM.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Площадь треугольника ABC относится к площади треугольника A₁B₁C₁ как . Найдите отношение периметра треугольника A₁B₁C₁ к периметру треугольника ABC.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO ≤ 2MO.

   Решение

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO ≤ 2MO.

Подсказка

Пусть точки M и N принадлежат соответственно сторонам AB и AC треугольника ABC. Через вершину C проведите прямую, параллельную AB.

Решение

  Пусть точка M принадлежит стороне AB, а N – стороне AC треугольника ABC. Через вершину C проведём прямую, параллельную стороне AB, и продолжим MN до пересечения с этой прямой в точке N₁.
  Пусть C₁ – середина AB. Из подобия треугольников N₁OC и MOC₁ находим, что  ON₁ = ^OC/_OC1·OM = 2OM.
  Следовательно,  ON ≤ ON₁ = 2OM.

Источники и прецеденты использования