Условие
Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.
Подсказка
Рассмотрите два треугольника со сторонами, параллельными сторонам данного. Один из них описан около данного треугольника, а второй – около описанной окружности данного треугольника.
Решение 1
Пусть S1 и S2 – вписанная и описанная окружности треугольника ABC. Через каждую вершину этого треугольника проведём прямые, параллельные противополежащим сторонам. Получим
треугольник A1B1C1, подобный данному с коэффициентом 2.
Пусть R1 – радиус вписанной окружности треугольника A1B1C1.
Опишем около окружности S2 треугольник
A2B2C2, стороны которого соответственно параллельны сторонам треугольника A1B1C1 так, что прямая B2C2 и точка A1 расположены по разные стороны от прямой BC, прямая A2C2 и точка B1 – по разные стороны от прямой AC, прямая A2B2 и точка C1 –
по разные стороны от прямой A1B1.
Треугольник A2B2C2 подобен треугольнику A1B1C1 и, следовательно, треугольнику ABC. Стороны треугольника A2B2C2 не меньше соответствующих сторон треугольника A1B1C1 (второй из этих треугольников целиком заключён внутри первого). Поэтому R ≥ R1 = 2r.
Равенство достигается только в случае, когда все стороны треугольника A1B1C1 касаются окружности S2. Тогда ∠A = ∠A1 = 180° – 2∠A. Следовательно,
∠A = 60°. То же верно для остальных углов.
Решение 2
Пусть a, b и c – стороны треугольника, p – полупериметр, S – площадь. Тогда
Положим p – a = x/2, p – b = y/2, p – c = z/2.
Имеем ≥ 1 (последнее неравенство доказано в задаче 30866).
Следовательно, R ≥ 2r. Равенство достигается, когда x = y = z, то есть a = b = c.
Замечания
См. также задачи 57436, 57439.
