Задача 57439

Тема:    [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что  27Rr 2p² 27R²/2.

Решение

Так как  Rr = RS/p = abc/4p (см. задачу 12.1), то приходим к неравенству  27abc 8p³ = (a + b + c)³.
Так как  (a + b + c)² 3(a² + b² + c²) для любых чисел a, b и c, то  p² 3(a²+b²+c²)/4 = m_a² + m_b² + m_c² (см. задачу 12.11, б)). Остается заметить, что  m_a² + m_b² + m_c² 27R²/4 (задача 10.5, а)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	5
Название	Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей
Тема	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями
задача
Номер	10.029