Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
Решите систему:
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа
x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
|
|
 |
Условие
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?
Подсказка
Пусть x – проекция меньшего катета на гипотенузу. Выразите квадрат указанной медианы через x и h.
Решение
Пусть CD = h – высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. Обозначим AD = x. Тогда
Если M – середина большего катета BC, то
причём равенство достигается, когда 4x2 = , то есть при x =
. В этом случае BD = h
, то есть BD > AD и BC > AC. Следовательно, BC – больший катет.
Ответ
3h/2.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3591 |
