Версия для печати
Убрать все задачи

---

В школе (где училось больше 5 учеников) подвели итоги учебного года. Выяснилось, что в каждом множестве из пяти и более учеников не менее 80% двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20% процентам учеников из этого множества. Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек, поставленных в школе, получил один ученик.

   Решение

---

Даны две таблицы A и B, в каждой m строк и n столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причём в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом k от 1 до m сумма чисел в верхних k строках таблицы A не меньше суммы чисел в верхних k строках таблицы B. Известно также, что всего в таблице A столько же единиц, сколько в таблице B. Докажите, что при любом l от 1 до n сумма чисел в левых l столбцах таблицы A не больше суммы чисел в левых l столбцах таблицы B.

   Решение

---

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

   Решение

---

Во время шахматного турнира, несколько игроков сыграли нечётное количество партий. Докажите, что число таких игроков чётно.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

   Решение

Темы:    [ Углы между биссектрисами ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для произвольного треугольника выполняется равенство

где r — радиус вписанной окружности, , и -- углы треугольника ABC, a = BC.

Подсказка

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Рассмотрите треугольник BOC.

Решение

Пусть O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Тогда

По теореме синусов из треугольника OBC находим, что

Следовательно,

Источники и прецеденты использования