К плоскости приклеены два непересекающихся деревянных круга одинакового размера – серый и чёрный. Дан деревянный треугольник, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи треугольника, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершинах). Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла между серой и чёрной сторонами, всегда проходит через одну и ту же точку плоскости.

   Решение

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁; B₂ и C₂ – середины высот BB₁ и CC₁.
Докажите, что треугольник A₁B₂C₂ подобен треугольнику ABC.

Подсказка

Пусть M – середина BC, H – точка пересечения высот треугольника. Тогда точки A₁, M, H, B₂ и C₂ лежат на одной окружности.

Решение

  Докажем утверждение для остроугольного треугольника ABC. Пусть M – середина стороны BC, H – точка пересечения высот треугольника ABC.
  Поскольку MB₂ и MC₂ – средние линии прямоугольных треугольников BB₁C и CC₁B, то точки B₂ и C₂ лежат на окружности с диаметром MH. На этой же окружности лежит и точка A₁. Следовательно,  ∠A₁B₂C₂ = ∠A₁MC₂ = ∠B,  ∠A₁HB₂ = ∠C.
  Аналогично для тупоугольного треугольника.

Источники и прецеденты использования