Задача 55407

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Описанные четырехугольники ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

К двум окружностям различного радиуса проведены общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.

Подсказка

Четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда биссектрисы его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Решение

  Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке O, причём точка B лежит между O и A, а точка C – между O и D. Тогда биссектрисы углов BAD и CDA пересекаются в точке M – середине меньшей дуги AD первой окружности, а биссектрисы углов ABC и DBC – в середине N большей дуги BC второй окружности.
  Четырёхугольник ABCD описанный тогда и только тогда, когда точки M и N совпадают, то есть когда данные окружности касаются.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4727