Задача 55447

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Докажите, что точки A, B и C — основания высот треугольника O₁O₂O₃.

Подсказка

Угол между биссектрисами смежных углов равен 90^o

Решение

O₁AO₃ — угол между биссектрисами смежных углов. Следовательно, O₁A O₃A. Аналогично O₁A O₂A. Поэтому O₁A — высота треугольника O₁O₂O₃. Точно так же докажем, что O₂B и O₃C — высоты треугольника O₁O₂O_3.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4769