ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 55457
УсловиеС помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.
ПодсказкаК большей из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через данную внутри угла точку M, проведите касательную в точке M.
РешениеЕсли данная точка M расположена вне данного угла KAL, то задача не имеет решений. Пусть точка M расположена внутри данного угла, а S — большая из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через точку M. Докажем, что касательная к этой окружности, проведённая через точку M, отсекает от данного угла нужный треугольник. Пусть B и C — точки пересечения этой касательной со сторонами AK и AL данного угла. Тогда периметр треугольника ABC равен 2AP, где P — точка касания построенной окружности со стороной AK данного угла. Пусть B1C1 — любой другой отрезок с концами на сторонах AK и AL данного угла, проходящий через точку M. Рассмотрим вневписанную окружность S1 треугольника AB1C1, касающуюся стороны B1C1 в точке M1. Поскольку точка M лежит вне этой окружности, то радиус окружности S1 больше радиуса окружности S. Поэтому AP1 > AP, где P1 — точка касания окружности S1 со стороной AK данного угла. Поскольку периметр треугольника AB1C1 равен 2AP1, то утверждение доказано.
Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|