Задача 55457

Темы:    [ Треугольник (экстремальные свойства) ] [ Построения (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, отсекающую от данного угла треугольник наименьшего возможного периметра.

Подсказка

К большей из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через данную внутри угла точку M, проведите касательную в точке M.

Решение

  Если данная точка M расположена вне данного угла KAL, то искомый треугольник вырождается в точку.
  Пусть точка M расположена внутри данного угла, а S – большая из двух окружностей, вписанных в данный угол и проходящих через точку M. Докажем, что касательная к этой окружности, проведённая через точку M, отсекает от данного угла нужный треугольник. (Тем самым задача сводится к задаче 54608.)
  Пусть B и C – точки пересечения этой касательной со сторонами AK и AL данного угла. Тогда периметр  P_ABC = 2AP,  где P – точка касания построенной окружности со стороной AK данного угла.
  Пусть  B₁C₁ – любой другой отрезок с концами на сторонах AK и AL данного угла, проходящий через точку M. Рассмотрим вневписанную окружность S₁ треугольника AB₁C₁, касающуюся стороны B₁C₁ в точке M₁. Поскольку точка M лежит вне этой окружности, то радиус окружности S₁ больше радиуса окружности S. Поэтому  AP₁ > AP,  где P₁ – точка касания окружности S₁ со стороной AK данного угла. Периметр треугольника AB₁C₁ равен 2AP₁, то есть больше чем P_ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4779