ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55469
Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Касающиеся окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
 В корзину
Прислать комментарий

Условие

Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведённой к окружности S2 из точки B, лежащей на окружности S1, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания).


Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.


Решение

Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2; X — точка пересечения прямой AB с окружностью S2, отличная от A; BM — касательная к окружности S1 (M — точка касания).

Равнобедренные треугольники XO2A и BO1A подобны. Поэтому

AX = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ . AB = $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$.

По теореме о касательной и секущей

BM2 = BX . BA = (BA + AX)BA = $\displaystyle \left(\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right.$a + $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right)$a = a2$\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{r}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right)$.

Следовательно, BM = a$ \sqrt{1+\frac{r}{R}}$.

В случае внутреннего касания аналогично получим, что

BM = a$\displaystyle \sqrt{1-\frac{r}{R}}$.

Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2; X — точка пересечения прямой AB с окружностью S2, отличная от A; BM — касательная к окружности S1 (M — точка касания).

Равнобедренные треугольники XO2A и BO1A подобны. Поэтому

AX = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ . AB = $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$.

По теореме о касательной и секущей

BM2 = BX . BA = (BA + AX)BA = $\displaystyle \left(\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right.$a + $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right)$a = a2$\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{r}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right)$.

Следовательно, BM = a$ \sqrt{1+\frac{r}{R}}$.

В случае внутреннего касания аналогично получим, что

BM = a$\displaystyle \sqrt{1-\frac{r}{R}}$.

Рассмотрим случай внешнего касания. Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2; X — точка пересечения прямой AB с окружностью S2, отличная от A; BM — касательная к окружности S1 (M — точка касания).

Равнобедренные треугольники XO2A и BO1A подобны. Поэтому

AX = $\displaystyle {\frac{r}{R}}$ . AB = $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$.

По теореме о касательной и секущей

BM2 = BX . BA = (BA + AX)BA = $\displaystyle \left(\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right.$a + $\displaystyle {\frac{ar}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{a + \frac{ar}{R}}\right)$a = a2$\displaystyle \left(\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right.$1 + $\displaystyle {\frac{r}{R}}$$\displaystyle \left.\vphantom{1 + \frac{r}{R}}\right)$.

Следовательно, BM = a$ \sqrt{1+\frac{r}{R}}$.

В случае внутреннего касания аналогично получим, что

BM = a$\displaystyle \sqrt{1-\frac{r}{R}}$.


Ответ

a$ \sqrt{1\pm \frac{r}{R}}$ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4791
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .