Задача 55474

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ (P и Q – точки касания); M – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠MKO = ∠MLO.

Подсказка

Из равенства  AO·AM = AK·AL  следует, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.

Решение

  Заметим, что точки A, M и O лежат на одной прямой. Поскольку PM – высота прямоугольного треугольника APO, проведённая из вершины прямого угла, то  AP² = AO·AM.  С другой стороны, по теореме о касательной и секущей  AP² = AK·AL.  Поэтому  AO·AM = AK·AL.
  Следовательно, точки K, L, M и O лежат на одной окружности, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4796