Информация о задаче

Задача 55521

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Волчкевич М.А.

Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC, $\angle$ CDE = 30^o. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60^o или 120^o.

Подсказка

Пусть точки D₁ и E₁ — образы точек D и E при симметриях относительно прямых AE и CD соответственно. Тогда треугольник DEE₁ -- равносторонний. Рассмотрите два случая: точки D₁ и E₁ совпадают; точки D₁ и E₁ различны.

Решение

Обозначим через O точку пересечения биссектрис треугольника ABC. Пусть D₁ — образ точки D при симметрии относительно прямой AE, E₁ — образ точки E при симметрии относительно прямой CD. Тогда точки D₁ и E₁ лежат на прямой AC.

Треугольник DEE₁ — равносторонний, т.к. DE = DE₁, а $\angle$ EDE₁ = 2 $\angle$ EDC = 60^o.

Если точки E₁ и D₁ совпадают (рис.1), то EA — биссектриса угла DEE₁. Поэтому

$\displaystyle \angle$ DEA = 30^o, $\displaystyle \angle$ DOE = 120^o,

а т.к. $\angle$ DOE = 90^o + ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ B, то $\angle$ B = 60^o.

Пусть теперь точки E₁ и D₁ различны (рис.2). Поскольку ED₁ = ED = EE₁, то треугольник D₁EE₁ — равнобедренный. Поэтому

$\displaystyle \angle$ ADE = $\displaystyle \angle$ AD₁E = $\displaystyle \angle$ EE₁C = 180^o - $\displaystyle \angle$ AE₁E.

Следовательно, точки A, D, E и E₁ лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ DAE = $\displaystyle \angle$ DE₁E = 60^o, $\displaystyle \angle$ BAC = 120^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4844