ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55521
Темы:    [ Углы между биссектрисами ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что AE и CD — биссектрисы треугольника ABC, $ \angle$CDE = 30o. Докажите, что один из углов треугольника ABC равен 60o или 120o.


Подсказка

Пусть точки D1 и E1 — образы точек D и E при симметриях относительно прямых AE и CD соответственно. Тогда треугольник DEE1 -- равносторонний. Рассмотрите два случая: точки D1 и E1 совпадают; точки D1 и E1 различны.


Решение

Обозначим через O точку пересечения биссектрис треугольника ABC. Пусть D1 — образ точки D при симметрии относительно прямой AE, E1 — образ точки E при симметрии относительно прямой CD. Тогда точки D1 и E1 лежат на прямой AC.

Треугольник DEE1 — равносторонний, т.к. DE = DE1, а $ \angle$EDE1 = 2$ \angle$EDC = 60o.

Если точки E1 и D1 совпадают (рис.1), то EA — биссектриса угла DEE1. Поэтому

$\displaystyle \angle$DEA = 30o$\displaystyle \angle$DOE = 120o,

а т.к. $ \angle$DOE = 90o + $ {\frac{1}{2}}$$ \angle$B, то $ \angle$B = 60o.

Пусть теперь точки E1 и D1 различны (рис.2). Поскольку ED1 = ED = EE1, то треугольник D1EE1 — равнобедренный. Поэтому

$\displaystyle \angle$ADE = $\displaystyle \angle$AD1E = $\displaystyle \angle$EE1C = 180o - $\displaystyle \angle$AE1E.

Следовательно, точки A, D, E и E1 лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$DAE = $\displaystyle \angle$DE1E = 60o$\displaystyle \angle$BAC = 120o.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4844

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .