Информация о задаче

Задача 55523

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Перенос помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Бартенев Ф.А.

Из вершины B параллелограмма ABCD проведены его высоты BK и BH. Известны отрезки KH = a и BD = b. Найдите расстояние от точки B до точки пересечения высот треугольника BKH.

Подсказка

Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны.

Решение

Первый способ.

Поскольку диагональ BD данного параллелограмма видна из точек K и H под прямым углом, точки K и H расположены на окружности с диаметром BD. Пусть P — проекция центра O этой окружности (O — середина BD) на сторону KH треугольника BKH, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.1). Тогда

OP = $\displaystyle \sqrt{OH^{2} - PH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^{2} - \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{b^{2} - a^{2}}}{2}}$ .

Следовательно, BM = 2OP = $\sqrt{b^{2} - a^{2}}$ .

Второй способ.

Пусть F — проекция точки D на прямую BC, M — точка пересечения высот треугольника BKH (рис.2). При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{KD}$ точка B переходит в точку F, а точка M — в точку H (т.к. KMHD — параллелограмм). Поэтому треугольник FHD равен треугольнику BMK.

В прямоугольном треугольнике KHF известны катет KH = a и гипотенуза KF = BD = b (KBFD — прямоугольник). Следовательно,

BM = FH = $\displaystyle \sqrt{KF^{2} - KH^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{b^{2} - a^{2}}$ .

Ответ

$\sqrt{b^{2} - a^{2}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4846


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	15
Название	Параллельный перенос
Тема	Параллельный перенос
параграф
Номер	1
Название	Перенос помогает решить задачу
Тема	Перенос помогает решить задачу
задача
Номер	15.005


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1972
выпуск
Номер	4
Задача
Номер	М139