ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55525
Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ( AB || CD), A1 и B1 — точки, симметричные точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что $ \angle$ACA1 = $ \angle$BDB1.


Подсказка

Поскольку A1O . OD = B1O . OC, то точки D, B1, A1 и C лежат на одной окружности.


Решение

Поскольку биссектриса есть ось симметрии угла, то точка A1 принадлежит лучу OB, а точка B1 — лучу OA, OA1 = OA, OB1 = OB.

Из подобия треугольников AOB и COD следует, что $ {\frac{AO}{OC}}$ = $ {\frac{BO}{OD}}$, или AO . OD = BO . OC. Следовательно,

A1O . OD = AO . OD = BO . OC = B1O . OC.

Поэтому точки D, B1, A1 и C лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ACA1 = $\displaystyle \angle$B1CA1 = $\displaystyle \angle$B1DA1 = $\displaystyle \angle$B1DB.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4848

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .