Информация о задаче

Задача 55525

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Буяновский А.

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ( AB || CD), A₁ и B₁ — точки, симметричные точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что $\angle$ ACA₁ = $\angle$ BDB₁.

Подсказка

Поскольку A₁O^.OD = B₁O^.OC, то точки D, B₁, A₁ и C лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку биссектриса есть ось симметрии угла, то точка A₁ принадлежит лучу OB, а точка B₁ — лучу OA, OA₁ = OA, OB₁ = OB.

Из подобия треугольников AOB и COD следует, что ${\frac{AO}{OC}}$ = ${\frac{BO}{OD}}$ , или AO^.OD = BO^.OC. Следовательно,

A₁O^.OD = AO^.OD = BO^.OC = B₁O^.OC.

Поэтому точки D, B₁, A₁ и C лежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ ACA₁ = $\displaystyle \angle$ B₁CA₁ = $\displaystyle \angle$ B₁DA₁ = $\displaystyle \angle$ B₁DB.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4848