Информация о задаче

Задача 55607

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Автор: Протасов В.Ю.

Внутри треугольника ABC с углами $\angle$ A = 50^o, $\angle$ B = 60^o, $\angle$ C = 70^o взята точка M, причём $\angle$ AMB = 110^o, $\angle$ BMC = 130^o. Найдите $\angle$ MBC.

Подсказка

Докажите, что M — точка пересечения высот треугольника ABC. треугольника ABC.

Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Тогда

$\displaystyle \angle$ BHC = 180^o - $\displaystyle \angle$ BAC = 180^o - 50^o = 130^o = $\displaystyle \angle$ BMC,

$\displaystyle \angle$ AHB = 180^o - $\displaystyle \angle$ ACB = 180^o - 70^o = 110^o = $\displaystyle \angle$ AMB.

Заметим, что внутри треугольника существует ровно одна точка, из которой две стороны видны под данными углами (точка пересечения дуг двух окружностей). Значит, точка M совпадает с точкой H. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ MBC = 90^o - $\displaystyle \angle$ BCA = 90^o - 70^o = 20^o.

Ответ

20^o.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5056