На клетки шахматной доски положили рисовые зёрнышки. Количества зёрнышек на каждых двух клетках, имеющих общую сторону, отличались ровно
на 1. При этом на одной из клеток доски лежало три зёрнышка, а на другой – 17 зёрнышек. Петух склевал все зёрнышки с одной из главных диагоналей доски, а курица – с другой. Сколько зёрен досталось петуху и сколько курице?

   Решение

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что противоположные стороны шестиугольника, образованного сторонами треугольника и касательными к его вписанной окружности, параллельными сторонам, равны между собой.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно центра окружности.

Решение

Пусть AB, CD и EF — стороны рассматриваемого шестиугольника ABCDEF, лежащие на указанных касательных. При симметрии относительно центра вписанной окружности данного треугольника прямая AB переходит в прямую DE, а прямая BC — в прямую EF. Поэтому точка B пересечения прямых AB и BC переходит в точку E пересечения прямых DE и EF.

Аналогично докажем, что при этой симметрии вершина A переходит в вершину D, а вершина F — в вершину C. Следовательно, центр окружности есть центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Поэтому AB = ED, BC = FE и CD = FA.

Источники и прецеденты использования