Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников  AOD, AOB, BOC и COD равны  r₁, r₂, r₃ и r₄ соответственно. Докажите, что + = + .

   Решение

Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с нечетным числом сторон?

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Треугольник (построения) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.

Подсказка

Рассмотрите поворот на угол 60^o вокруг точки, лежащей на одной из данных прямых.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть его вершины A, B и C лежат на данных параллельных прямых l₁, l₂ и l₃ соответственно. При повороте на 60^o вокруг точки A, переводящем вершину C в вершину B, прямая l₃ перейдёт в некоторую прямую l, пересекающую l₂ в точке B.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Возьмём на прямой l₁ произвольную точку A. Образ прямой l₃ при повороте на угол 60^o вокруг точки A пересекает прямую l₂ в вершине B искомого равностороннего треугольника.

Источники и прецеденты использования