Задача 56472

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 2+ Классы: 9

Условие

а) В треугольнике ABC проведена биссектриса BD внутреннего или внешнего угла. Докажите, что  AD : DC = AB : BC.

б) Докажите, что центр O вписанной окружности треугольника ABC делит биссектрису AA₁ в отношении  AO : OA₁ = (b + c) : a,  где a, b, c  – длины сторон треугольника.

Решение

  а) Первый способ. Докажем утверждение для биссектрисы внутреннего угла. Проведём через точку C прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AB в точке E. Так как  ∠BEC = ∠ABD = ∠CBD = ∠BCE,  то треугольник CBE – равнобедренный  (BC = BE).  По теореме Фалеса
AD : DC = AB : BE = AB : BC.

  Для биссектрисы внешнего угла доказательство аналогично.

  Второй способ. Точка равноудалена D от прямых AB и BC. Поэтому  AD : DC = S_ABD : S_BCD = AB : BC.

  б) Из а) следует, что   BA₁ = ^ac/_b+c.  Так как BO – биссектриса треугольника ABA₁, то  AO : OA₁ = AB : BA₁ = (b + c) : a.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.017